沈阳工业大学研究者提出一种三维非线性磁场的快速计算方法
随着新工业时代的到来，数字孪生技术被认为是实现工业产品实时监控和全生命周期管理的关键技术。昂贵的有限元分析使电气设备的优化设计以及需要实时性能分析的数字孪生技术的应用受到限制。沈阳工业大学刘禹彤、任自艳等提出了一种基于本征正交分解的三维非线性磁场问题自适应模型降阶方法，并以TEAM24问题和一台牵引变压器为研究对象，通过对比降阶模型与有限元全阶模型的计算结果和计算时间，验证降阶模型的快速性与准确性。
研究背景
数字孪生技术被视为实现工业产品实时监控及全生命周期管理的关键所在，其核心特征之一是能够实时反映正在服役的电气设备的物理特性。有限元法（FEM）作为分析低频电气设备电磁性能的一种常用手段，能够有效地模拟设备运行状态，并提供精确的结果。
然而，由于几何模型的空间自由度高、时间步长多以及材料非线性行为等因素，使得基于FEM的分析过程计算量巨大，导致高昂的计算成本。这不仅限制了电气设备的优化设计进程，也对需要实时性能分析支持的数字孪生技术的应用构成了障碍。而模型降阶技术则在保持计算精度的前提下，提供了一种构建高效行为模型的方法，以应对上述挑战。
论文所解决的问题及意义
目前，本征正交分解（POD）方法已被广泛应用于多个工程领域，如流体动力学和计算电磁学等。然而，在处理三维非线性磁场问题时，仍然面临几个关键挑战：降低数值计算成本、提高模型的适应性和准确性以及增强非线性逼近能力，同时实现高效的实时计算性能。解决这些问题有益于推进数字孪生技术在电气设备领域的应用、提升产品全生命周期管理能力。
论文方法及创新点
本文基于贪婪策略，将POD与径向基函数（RBF）相结合，同时采用改进的麻雀搜索算法（ISSA）计算RBF的最优宽度参数组合，构建更适配高阶系统的降阶模型。
1、基于RBF的POD法
图1 整体算法流程
图2 SVD及截断示意图
POD法需构建由数值计算数据组成的快照矩阵，快照矩阵的每一列数据对应所研究系统在不同工作条件下或不同输入下的状态。采用奇异值分解（SVD）对快照矩阵进行分解和信息提取，分解之后的矩阵是三个子矩阵相乘的形式。
奇异值分解的左奇异矩阵Ur对应于POD基，右奇异矩阵Vr由每组参数值投影到POD基中的FEM解构成，系统输出的预测只依赖Vr中的右奇异向量。对于新参数的右奇异向量，采用径向基函数（RBF）插值法进行预测，通过计算已知样本间的RBF矩阵和权重系数，求得新参数对应的右奇异向量元素。
2、基于ISSA计算最优宽度参数组合
图3 ISSA最优宽度参数组合计算流程
贪婪策略选择的快照样本点在空间内的分布往往不是均匀的。对于径向基函数而言，所有已知样本点共同影响待求解样本点的计算结果，而宽度参数c控制已知样本点在周边范围内的影响程度，分布不均匀的样本点更不应该使用同一宽度参数。随着宽度参数值的不断增大，模型的精度呈现先增大后减小的趋势，并且由于不同样本所表征的特性不同，没有统一的宽度参数来保证不同近似模型的精度。
另一方面，对于非线性程度较高的模型，贪婪策略算法的收敛速度变慢，选择的快照样本数量增多，增加了降阶模型的计算时间，因此找到合理的宽度参数组合能够在保证精度的前提下选择最少的快照数。基于ISSA的最优宽度参数组合计算通过构建包含宽度参数的POD-RBF降阶模型并初始化种群，迭代更新麻雀位置以优化适应度函数，直至找到使最大相对误差最小化的最优宽度参数组合。最终输出的最优麻雀位置即代表了最优宽度参数组合，用于提升降阶模型的精度和效率。
图4 贪婪策略流程
贪婪策略每次迭代选择降阶模型与全阶模型计算结果之间的最大误差所对应的参数加入快照矩阵，使快照矩阵包含更全面的特征信息，从而获得最佳的降阶模型。
3、计算实例
本文给出两个计算实例以验证所提方法的有效性。第一个是国际电磁场标准测试问题24（TEAM24），第二个是一台单相牵引变压器空载磁场计算问题。
图5 模型及网格剖分 a.Team24 模型及网格剖分b.变压器模型及网格剖分
基于ISSA-POD-RBF的降阶模型与FEM全阶模型相比，误差在可接受范围内。通过对比不同采样方式构建的降阶模型计算效果，发现使用贪婪策略选取快照样本构建的模型，其相对误差显著低于平均采样方法。进一步测试表明，采用最优宽度参数组合构建的降阶模型，其样本相对误差整体小于使用单一宽度参数的模型。两个模型算例加速比分别达到了366.07和99.08。
结论
本文提出了一种适用于求解三维非线性磁场问题的ISSA-POD-RBF模型降阶方法。以TEAM24问题和一台单相牵引变压器的空载磁场计算问题为例验证了所提方法的有效性。RBF中的宽度参数直接控制所选样本点的作用范围，进而影响模型的预测精度。针对不同快照样本构建的模型，选择正确合理的宽度参数组合能够大幅提升降阶模型的计算精度与可泛化性。
文中基于改进的麻雀优化算法获取最合理的宽度参数组合来构建更加适配快照的降阶模型，能够在控制快照样本数量的同时提高模型计算精度。本文计算TEAM24和变压器模型中，POD基保留阶数分别为2阶和11阶，各正交基向量所对应特征值能量之和达到99.5%。
另外，快照数量对奇异值分解过程的计算速度影响极大。快照数量、样本点的选择，以及POD基的保留阶数是影响降阶模型加速比的重要因素。本文两个模型算例加速比分别达到了366.07和99.08。
本文所提出的电气设备非线性磁场问题快速求解方法为电气设备电磁性能数字孪生模型的构建提供了一种实时仿真解决方案。
团队介绍
团队成员隶属于沈阳工业大学教育部特种电机与高压电器重点实验室电工装备多物理场与电工材料特性研究所，长期致力于电工理论与新技术方面的教学科研工作。团队主要的研究方向包括电工材料电磁特性先进测量与工程应用技术、超高压/特高压多物理场交叉耦合理论与优化技术、电力变压器智能运维与全寿命评估技术、电气可靠性技术、电磁场逆问题优化设计技术等。
任自艳,教授，博士生导师，主要研究方向为电工装备的优化设计算法及电磁场数值分析与计算。
刘禹彤,博士研究生，主要研究方向为电磁场理论及数值计算模型降阶技术。
张殿海,教授，博士生导师，主要研究方向为电工新材料电磁特性测量与模拟，电工装备多物理场、电气可靠性与优化设计等。
迟连强,博士生研究生，主要研究方向为电工装备电磁场理论与数值计算。
本工作成果发表在2025年第1期《电工技术学报》，论文标题为“基于自适应模型降阶的三维非线性磁场快速计算方法“。本课题得到国家自然科学基金项目和辽宁省教育厅项目的支持。